Info: Bedingungen für Wendestellen
Notwendige Bedingung für Wendestellen
Erklärung
Wenn die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) einen Wendepunkt besitzt, dann hat die 2. Ableitung \(f''(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle.
Mathematische Schreibweise
\(f''(x_w)=0\)
Achtung! Es heißt umgekehrt nicht, dass jede Nullstelle der 2. Ableitung \(f''(x)\) eine Wendestelle der Funktion \(f(x)\) ist. Diese Eigenschaft besitzt auch ein Sattelpunkt.
In der Mathematik nennt man die Bedingung \(f''(x_w)=0\) auch notwendig für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), aber nicht hinreichend.
Hinreichende Bedingung für Wendestellen mithilfe des Vorzeichenwechsels
Erklärung
In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.
- Wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle hat
- und es an der Stelle \(x_w\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes \(f''(x_w) \) gibt.
Mathematische Schreibweise
\(f''(x_w)=0\) und \(f''(x_w) \) hat an der Stelle \(x_w\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes
Hinreichende Bedingung für Extremstellen mithilfe der 3. Ableitung
Erklärung
In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.
- Wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle hat
- und wenn die 3. Ableitung \(f'''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) keine Nullstelle hat.
Mathematische Schreibweise
\(f''(x_w)=0\) und \(f'''(x_w)\neq0\)