Beispiel: Spurpunkt berechnen

Berechnen Sie den Spurpunkt \(S_z\) der Geraden \(g\) mit der \(x\)-\(y\)-Koordinatenebene.

\( g: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Alle Punkte auf der \(x\)-\(y\)-Koordinatenebene haben die Eigenschaft \( z=0 \).

Der gesuchte Punkt: \(S_z(x|y|0)\)

Ortsvektor \(\overrightarrow{OS_z}\) für \(\overrightarrow{x}\) in die Geradengleichung einsetzen.

\( \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Mit der 3. Zeile \(r\) bestimmen.

\( 0=1+1\cdot r \quad |-1\)

\( -1=1\cdot r\)

\( r=-1\)

\( r=-1\) in Gleichung einsetzen.

\( \overrightarrow{OS_z} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{OS_z} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{OS_z} = \left(\begin{array}{c} 1+2 \\ 2+1 \\ 1+(-1) \end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{OS_z} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right) \)

\( S_z(3|3|0) \)