Lösung: Satz von Bayes
Hausaufgabe
Bei einem Corona-Schnelltest wird die Sensivität mit 80 % und die Spezifität wird mit 98 % angegeben. Das Robert-Koch-Institut geht von einer Infektionsrate von 5 % aus.
Unter Sensitivität versteht man den Prozentsatz der "richtig" positiven Ergebnisse des Testverfahrens.
Die Spezifität des Verfahrens gibt den Prozentsatz der "richtig" negativen Ergebnissen an.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das ein positiver Corona-Schnelltest "falsch" positiv anzeigt.
\(I\): infiziert
\(\overline{I}\): Nicht infiziert
\(R\): "richtig" Positiv/Negativ
\(\overline{R}\): "falsch" Positiv/Negativ
\(P(I)=\dfrac{5}{100}\)
\(P(\overline{I})=\dfrac{95}{100}\)
\(P_\overline{I}(\overline{R})=\dfrac{2}{100}\)
\(P_I(\overline{R})=\dfrac{20}{100}\)
Gesucht wird: \(P_\overline{R}(\overline{I})\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{P(\overline{I} \cap \overline{R})}{P(\overline{R})}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{P(\overline{I}) \cdot P_\overline{I}(\overline{R}) }{P(\overline{I}) \cdot P_\overline{I}(\overline{R}) + P(I) \cdot P_I(\overline{R})}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{ \dfrac{95}{100} \cdot \dfrac{2}{100} }{ \dfrac{95}{100} \cdot \dfrac{2}{100} + \dfrac{5}{100} \cdot \dfrac{20}{100} } \)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{ \dfrac{190}{10000} }{ \dfrac{190}{10000} + \dfrac{100}{10000}}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{ \dfrac{190}{10000} }{ \dfrac{290}{10000}}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{190}{10000} \cdot \dfrac{10000}{290}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{19}{1000} \cdot \dfrac{1000}{29}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{19000}{29000}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})=\dfrac{19}{29}\)
\(P_\overline{R}(\overline{I})\approx 0,6552 \)
\(P_\overline{R}(\overline{I})\approx 66\; \% \)
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