Beispiel: Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) rechnerisch lösen

In einem Betrieb werden weiße und graue Kunststoffdübel hergestellt.

Aus der laufenden Produktion werden 100 Dübel als Stichprobe entnommen.

Die Hälfe der der Dübel in der Stichprobe waren grau.

Bestimmen Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % den Anteil der grauen Dübel in der Produktion.

Mathematischer Ansatz

\( |p-h| \leq  c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}}\)

\( X=50\)

\( n=100\)

\( h=\dfrac{X}{n}\)

\( h=\dfrac{50}{100}\)

\( h=0,5=50 \; \% \)

\( |p-0,5| \leq  1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{100}}\)

Ungleichung quadrieren

\( (p-0,5)^2 \leq  1,96^2 \cdot \dfrac{p -p^2}{100}\)

Mit \(100\) multiplizieren

\(100 \cdot (p-0,5)^2 \leq  1,96^2 \cdot (p -p^2)\)

\((p-0,5)^2\) ausmultiplizieren

\(100 \cdot (p^2-p+0,25) \leq  1,96^2 \cdot (p -p^2)\)

\(100 \cdot (p^2-p+0,25)\) ausmultiplizieren

\(100 \cdot p^2-100 \cdot p+ 25 \leq  1,96^2 \cdot (p -p^2)\)

\(1,96^2 \cdot (p -p^2)\) ausmultiplizieren

\(100 \cdot p^2-100 \cdot p+ 25 \leq  3,8416 \cdot p - 3,8416 \cdot p^2\)

\((3,8416 \cdot p - 3,8416 \cdot p^2)\) subtrahieren (Minusrechnen)

\(103,8416 \cdot p^2-103,8416 \cdot p+ 25 \leq 0\)

Ungleichung mit Lösungsformel oder Taschenrechner lösen.

\(p_1 \approx 0,4038 \) und \(p_2 \approx 0,5962 \)

Zu mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Anteil von grauen Dübeln zwischen 40,38 % und 59,62 %.