Beispiel: Umformen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform

Formen Sie die allgemeine Form der quadratischen Funktion \(f\) mit \(f(x)= 2\cdot x^2 -2 \cdot x + 1 \) in die Scheitelpunktform um und geben Sie den Scheitelpunkt an.

Schritt 1

Koeffizient \(2\) ausklammern

\(f(x)= 2\cdot \biggl( x^2 +\dfrac{-2}{2} \cdot x \biggr)+1 \)

\(f(x)= 2\cdot \biggl( x^2 -1 \cdot x \biggr) +1 \)

Schritt 2

Term quadratisch ergänzen.

\(f(x)= 2\cdot \Biggl( x^2 -1 \cdot x+\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggr)^2-\biggl(\dfrac{-1}{2}\biggr)^2 \Biggr) +1\)

\(f(x)= 2\cdot (x^2 -1 \cdot x +0,25 -0,25 )+1 \)

Schritt 3

Als binomische Formel zusammengefassen.

\(f(x)= 2\cdot \bigl((x-0,5)^2-0,25 \bigr) +1\)

Schritt 4

Koeffizient \(2\) ausmultiplizieren

\(f(x)= 2\cdot (x-0,5)^2+2\cdot(-0,25)+1 \)

\(f(x)= 2\cdot (x-0,5)^2+0,5 \)

Scheitelpunkt

\(S(0,5|0,5)\)