Info: Bedingungen für Extremstellen

Notwendige Bedingung für Extremstellen

Erklärung

Wenn die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) einen Extrempunkt besitzt, dann hat die 1. Ableitung \(f'(x)\) an dieser Stelle \(x_e\) eine Nullstelle.

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\)

Achtung! Es heißt umgekehrt nicht, dass jede Nullstelle der 1. Ableitung \(f'(x)\) eine Extremstelle der Funktion \(f(x)\) ist. Diese Eigenschaft besitzt auch ein Sattelpunkt.

In der Mathematik nennt man die Bedingung \(f'(x_e)=0\) auch notwendig für das Vorliegen eines Extrempunktes an der Stellen \(x_e\), aber nicht hinreichend.

Hinreichende Bedingung für Extremstellen mithilfe des Vorzeichenwechsels

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Extrempunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und es an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes \(f'(x_e) \) gibt.

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes

Hinreichende Bedingung für Extremstellen mithilfe der 2. Ableitung

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Extrempunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) keine Nullstelle hat. 

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)\neq0\)