Info: Bedingungen für Hochpunkte und Tiefpunkte

Notwendige Bedingung für Hochpunkte und Tiefpunkte

Erklärung

Extrempunkte können in Hochpunkte und Tiefpunkte unterschieden werden.

Wenn die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt, dann hat die 1. Ableitung \(f'(x)\) an dieser Stelle \(x_e\) eine Nullstelle.

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\)

Achtung! Es heißt umgekehrt nicht, dass jede Nullstelle der 1. Ableitung \(f'(x)\) ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt der Funktion \(f(x)\) ist. Diese Eigenschaft besitzt auch ein Sattelpunkt.

In der Mathematik nennt man die Bedingung \(f'(x_e)=0\) auch notwendig für das Vorliegen eines Hochpunktes oder Tiefpunktes an der Stellen \(x_e\), aber nicht hinreichend.

Hinreichende Bedingung für Hochpunkte mithilfe des Vorzeichenwechsels

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Hochpunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und es an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes \(f'(x_e) \) von \(+\) nach \(-\) gibt.

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes von \(+\) nach \(-\)

Hinreichende Bedingung für Hochpunkte mithilfe der 2. Ableitung

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Hochpunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) einen negativen Wert hat. 

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)<0\)

Hinreichende Bedingung für Tiefpunkte mithilfe des Vorzeichenwechsels

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Tiefpunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und es an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes \(f'(x_e) \) von \(-\) nach \(+\) gibt.

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes von \(-\) nach \(+\)

Hinreichende Bedingung für Tiefpunkte mithilfe der 2. Ableitung

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Tiefpunktes an der Stellen \(x_e\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 1. Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) eine Nullstelle hat 
2. und wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_e\) einen positiven Wert hat. 

Mathematische Schreibweise

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)>0\)