Übersicht: Extrempunkte, Tiefpunkte und Hochpunkte

Extremstellen

Notwendige Bedingung

\(f'(x_e)=0\)

Hinreichende Bedingung mithilfe des Vorzeichenwechsels

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes

Hinreichende Bedingung mithilfe der 2. Ableitung

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)\neq0\)

Hochpunkte

Notwendige Bedingung

\(f'(x_e)=0\)

Hinreichende Bedingung mithilfe des Vorzeichenwechsels

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes von \(+\) nach \(-\)

Hinreichende Bedingung für Hochpunkte mithilfe der 2. Ableitung

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)>0\)

Tiefpunkte

Notwendige Bedingung

\(f'(x_e)=0\)

Hinreichende Bedingung mithilfe des Vorzeichenwechsels

\(f'(x_e)=0\) und \(f'(x) \) hat an der Stelle \(x_e\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes von \(-\) nach \(+\)

Hinreichende Bedingung für Hochpunkte mithilfe der 2. Ableitung

\(f'(x_e)=0\) und \(f''(x_e)<0\)