Lösungen: Wendepunkte

Gegeben ist die folgende Funktion.

\(f(x)=-\frac{1}{24}\cdot x^4-\frac{1}{6}\cdot x^3+2\cdot x^2+x-6\)

a) Bestimmen Sie die Stellen \(x_w\) der Funktion \(f(x)\) an den sich "möglicherweise" Wendepunkte befinden. (Notwendige Bedingung für Wendestellen)

\(f''(x_w)=0\)

\(f'(x)=-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+1\)

\(f''(x)=-\frac{1}{2}x^2-x+4\)

\(0=-\frac{1}{2}x^2-x+4\)

Mit Taschenrechner lösen:

\(x_{w1}=-4\), \(x_{w2}=2\)

b) Weisen Sie mithilfe der 3. Ableitung nach, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt. (Hinreichende Bedingung für Wendestellen)

\(f'''(x_w)\neq0\)

\(f'''(x)=-x-1\)

\(f'''(-4)=3\)

\(f'''(2)=-3\)

c) Bestimmen Sie die Wendepunkte.

\(f(-4)=22\)

\(W_1(-4|22)\)

\(f(2)=2\)

\(W_2(2|2)\)

Hilfen zur Aufgabe:

Info: Bedingungen für Wendestellen

Übersicht: Wendepunkte und Sattelpunkte