Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Ausgleichsfläche ermitteln" > Section: Lösungen

GeoGebra-Datei mit den Graphen

Aufstellen der Funktionsgleichungen

Quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt \(P2(1,5|-0,5)\) und dem Punkt \(P1(0|0)\)

- Aufstellen der quadratischen Funktion in Scheitelpunkform
\(p(x)=a\cdot (x-x_s)^2+y_s\)
- Einsetzen der Koordinaten des Scheitepunktes \(P2\left(\dfrac{3}{2}|-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(p(x)=a\cdot \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\)
- Umstellen nach \(a\)
\(a=\dfrac{g(x)+\dfrac{1}{2}}{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2}\)
- Einsetzen von \(P1(0|0)\)
\(a=\dfrac{0+\dfrac{1}{2}}{\left(0-\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{9}\)
\(\Rightarrow p(x)=\dfrac{2}{9}\cdot \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\)
- ggf. Umformen in die allegemeine Form
\(\Rightarrow f(x)=\dfrac{2}{9}\cdot \left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{9}\cdot x^2-\dfrac{2}{3}\cdot x\)

Ganzrationale Funktion 3. Grades durch die Punkte
      \(G1(0|0)\) ;  Hochpunkt \(G2(0,8|0,38)\) ;  Tiefpunkt \(G3(2,4|0)\) ;  \(G4(3|0,2)\)

- Austellen eines allgemeinen Ansatzes
\(g(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\)
wegen der 4 Unbekannten a,b,c und d werden 4 Bedingungen benötigt.
- Aufstellen der 4 Bedingungen
I    \(g(0)=0\;\;\;\;\;\Rightarrow d=0\)
II   \(g(2,4)=0\;\;\;\Rightarrow a\cdot 2,4^3+b\cdot 2,4^2+c\cdot 2,4=0\;\;\;\Rightarrow 13,824a+5,76b+2,4c=0\)
III  \(g^/(2,4)=0\;\;\;\Rightarrow 3\cdot a\cdot 2,4^2+2\cdot b\cdot 2,4+c=2\;\;\;\Rightarrow 17,28a+4,8b+c=0\)
IV  \(g(3)=0,2\;\;\;\Rightarrow a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=0,2\;\;\;\Rightarrow 27a+9b+3c+d=0,2\)
- Lösen des Gleichungssytems
  - von Hand
  - mit dem Taschenrechner
  - mit GeoGebra

Lösung:  \(a=0,1854;\;\;\;\;b=-0,8903;\;\;\;\;c=1,0686;\;\;\;\;d=0\)
              \(\Rightarrow g(x)=0,1854x^3-0,8903x^2+1,0686x\)

Berechnung der Fläche

Gesucht ist der Inhalt der Fläche \(A\), die nach oben durch die Funktion \(g(x)\), nach unten durch die Funktion \(p(x)\), nach links durch den Schnittpunkt zwischen \(g(x)\) und \(p(x)\) (bei \(x=0\)) sowie nach rechts durch die Gerade \(x=3\) begrenzt wird.

Eine Lösung ist z. B. mit Hilfe numerischer Verfahren des GTR/CAS in der Grafikansicht oder mit GeoGebra möglich.

Die mit Hilfe der (hier nicht unbedingt notwendigen) Integralrechnung bestimmte exakte Lösung lautet:
\(A=\int \limits_0^3 (g(x)-p(x)) \, \textrm{d}x = 1,55 \, \textrm{km}^2\)

Berechnung der Kosten

Mithilfe der von den Lernenden ermittelten regionalen Grundstückspreise lassen sich die Kosten für die Ausgleichsfläche ermitteln.
Mit dem angegebenen Wert von \(55 \frac{\textrm{Euro}}{\textrm{m}^2} \) ergeben sich Kosten von \(K=1,55 \, \textrm{km}^2 \cdot 55 \frac{\textrm{Euro}}{\textrm{m}^2} = 1550000 \, \textrm{m}^2 \cdot 55 \frac{\textrm{Euro}}{\textrm{m}^2} = 85.250.000 \, \textrm{Euro} \)