Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Höhe einer Wasserrakete ermitteln" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Koordinatensystem mit den Beschleunigungswerten:

Beschreibung des Flugverlaufs der Wasserrakete (WR):

Zum Zeitpunkt t=0 startet die WR mit h=0 und v=0. Während des Beschleunigungsvorgangs stößt die WR Wasser aus und verliert damit an Masse, was zu einem Anstieg der Beschleunigung führt. Wenn der Wasservorrat ausgestoßen wurde, wird die größte Beschleunigung und damit auch die größte  Geschwindigkeit erreicht.
Nach Beendigung des Beschleunigungsvorgangs setzt aufgrund des Luftwiderstands (und der Erdbeschleunigung) schlagartig eine Verzögerung (negative Beschleunigung) ein, die die WR auf ihrem Weg nach oben abbremst bis die Geschwindigkeit der WR Null und die größte Höhe erreicht wird.
Durch die Erdbeschleunigung fällt die WR zu Boden zurück. Dabei nimmt ihre Geschwindigkeit solange zu, bis Erdbeschleunigung und Verzögerung durch den Luftwiderstand den gleichen Wert haben. Die ist ungefähr in Bodennähe.

Durch Synthese und quadratische Regression ermittelte Beschleunigungsfunktionen:

\(a_1(t)=800\cdot t^2+100\cdot t+150\)

\(a_2(t)=-0,256\cdot t^2+6,656\cdot t-43,264\)

Integration zur Ermittlung der Geschwindigkeitsfunktionen:

\(v_1(t)=\int a_1(t) dt+Cv_1\)   \(Cv_1=v_1(0)=0\)

\(v_1(t)=\dfrac{800}{6}\cdot t^3+50\cdot t^2+150\cdot t\)

\(v_2(t)=\int a_2(t) dt+Cv_2\)   \(Cv_2=v_1(0,5)-v_2(0,5)=141,644\)

\(v_2(t)=-0,0853\cdot t^3+3,328\cdot t^2-43,264\cdot t+141,644\)

Integration zur Ermittlung der Höhenfunktionen:

\(h_1(t)=\int v_1(t) dt+Ch_1\)   \(Ch_1=h_1(0)=0\)

\(h_1(t)=\dfrac{200}{6}\cdot t^4+\dfrac{50}{3}\cdot t^3+75\cdot t^2\)

\(h_2(t)=\int v_2(t) dt+Ch_2\)   \(Ch_2=h_1(0,5)-h_2(0,5)=-40,5513\)

\(h_2(t)=-0,0213\cdot t^4+1,1093\cdot t^3-21,632\cdot t^2+141,644\cdot t-40,5513\)

Ermittlung der größten Höhe:

Bei \(h_{max}\) ist \(v_2(t)=0\).

\(v_2(t)=0 \rightarrow -0,0853\cdot t^3+3,328\cdot t^2-43,264\cdot t+141,644=0\)

\(\rightarrow t_h=4,8713\)

\(h_{max}=h_2(4,8713)=252,341\, \textrm{m}\).

Ermittlung der größten Geschwindigkeit:

Bei \(v_{max}\) ist \(a_2(t)=0\).

Ein Randextremum tritt bei \(a_1(0,5)=400\,\dfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\) auf.

Weiter wird die größte negative Geschwindigkeit erreicht, wenn die Rakete auf dem Boden aufkommt,
also bei \(h_2(t)=0\)

\(h_2(t)=0 \rightarrow -0,0213\cdot t^4+1,1093\cdot t^3-21,632\cdot t^2+141,644\cdot t-40,5513=0 \rightarrow t_v=12,41\,\textrm{s}\).

\(v_2(12,41)=-45,82\,\dfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\).

Darstellung des Flugverlaufs: