Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Aufhängung einer Leuchte dimensionieren" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Handlungssituation 1:

Ermitteln der Punkte:

\(L_1(2|-3|3)\;;\;L_2(0|5|2,5)\;;\;L(1|1|2)\)

Darstellung der Vektoren:

 \(\vec F_1=r\cdot \vec{L_1L}=r\cdot \left(\begin{array}{c} -1\\4 \\ -1\end{array}\right)\) ;    \(\vec F_2=s\cdot \vec{L_2L}=s\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\-4 \\ -0,5\end{array}\right)\) ;    \(\vec F_g=\left(\begin{array}{c} 0\\0 \\ -981\end{array}\right)\)

Grundgesetz der Statik:

\(\sum \vec F=0\)

 \(r\cdot \left(\begin{array}{c} -1\\4 \\ -1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\-4\\-0,5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\\-981\end{array}\right)=0\)

LGS mit der Lösung:

\(\begin{array}{rrrcr}I&-r&+s&=&0\\II&4r&-4s&=&0\\III&-r&-0,5s&=&981\end{array}\)

auflösen von \(III\) nach \(r\)    \(\Rightarrow r=-981-0,5s\)

und einsetzen in \(I\)   \(-(-981-0,5s)+s=0\)

ergibt \(s=r=\dfrac{-1962}{3}=-654\)

Ermittlung der Seillängen:

Seil1:  \(\sqrt{18}\approx4,24\) ;    Seil2:  \(\sqrt{17,25}\approx4,15\)

Berechnung der Kräfte:

\(|\vec F_1|=654\cdot \sqrt{1^2+4^2+1^2}=\sqrt{18}\approx2775\;\text N\)

\(|\vec F_2|=654\cdot \sqrt{1^2+4^2+{0,5}^2}=\sqrt{17,25}\approx2716\;\text N\)

Die Seile sind ausreichend dimensioniert.

Handlungssituation 2:

Ermitteln der Punkte:

\(L_1(2|-3|3) \;\;;\; L_2(0|5|2,5) \;\;;\; L_3(-6|-4|3) \;\;;\; L(-1|-1|2) \)

Darstellung der Vektoren:

\(\vec F_1=r\cdot \vec{L_1L}=r\cdot \left(\begin{array}{c} -3\\2 \\ -1\end{array}\right)\);     \(\vec F_2=s\cdot \vec{L_2L}=s\cdot \left(\begin{array}{c} -1\\-6 \\ -0,5\end{array}\right)\);     \(\vec F_3=t\cdot \vec{L_3L}=t\cdot \left(\begin{array}{c} 5\\3 \\ -1\end{array}\right)\);     \(\vec F_g=\left(\begin{array}{c} 0\\0 \\ -981\end{array}\right)\)

Grundgesetz der Statik:

\(\sum \vec F=0\)

\(r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\2\\-1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\-6\\-0,5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\3\\-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\\-981\end{array}\right)=0 \)

LGS mit der Lösung:

\(\begin{array}{rrrrr}I&-3r&-s&+5t&=&0\\II&2r&-6s&+3t&=&0\\III&-r&-0,5s&-t&=&981\end{array}\)

\(IV\qquad II+2\cdot III\qquad -7s+t=1962\)
\(V\qquad I-3\cdot III\qquad 0,5s+8t=-2943\)
\(\qquad 8 \cdot IV-V \qquad\qquad -56,5s=18693\)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad s=-\dfrac{18693}{56,5}=-329,9\)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad r=-468,8\)
\(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad t=-347,3\)

Ermittlung der Seillängen:

Seil1:  \(\sqrt{14}\approx3,74\) ;    Seil2:  \(\sqrt{37,25}\approx6,10\) ;    Seil3:  \(\sqrt{35}\approx5,92\)

Berechnung der Kräfte:

\(\vec F_1=\left|-468,8\cdot\begin{pmatrix} -3  \\ 2 \\-1  \end{pmatrix}\right|=468,8\cdot\sqrt{9+4+1}=1754\;\text N\)
\(\vec F_2=\left|-329,9\cdot\begin{pmatrix} -1  \\ -6 \\-0,5  \end{pmatrix}\right|=329,9\cdot\sqrt{1+36+0,25}=2013\;\text N\)
\(\vec F_3=\left|-347,3\cdot\begin{pmatrix} 5  \\ 3 \\-1  \end{pmatrix}\right|=347,3\cdot\sqrt{25+9+1}=2054\;\text N\)

Die Seile sind ausreichend dimensioniert.