Title: Info: Vertrauensintervall (Konfidenzintervall)
Course: Fachwissen Stochastik (BGT)__Version 0.001 > Section: Binomialverteilung

Vertrauensintervall (Konfidenzintervall)
Erklärung

Als Vertrauensintervall (Konfidenzintervall) wird eine \( \sigma \)-Umgebungen einer Stichprobe bezeichnet.

Mit diesem Intervall lassen sich Aussagen über die Grundgesamtheit treffen.

Mathematische Schreibweise

\( |p-h| \leq c \cdot \sqrt{ \dfrac{p-p^2}{n} }\) mit \( h=\dfrac{X}{n}\)

Herleitung der Formel

Ausgangspunkt ist ein beliebiges Intervall.

\([\mu - c \cdot \sigma ; \mu + c \cdot \sigma]\)

Dieses Intevall lässt sich auch folgenderweise schreiben.

\(\mu - c \cdot \sigma \leq X \leq \mu + c \cdot \sigma\)

1. Schritt: \(\mu\) durch \(n \cdot p\) ersetzen

\(n \cdot p - c \cdot \sigma \leq X \leq n \cdot p + c \cdot \sigma\)

2. Schritt: \(\sigma\) durch \(\sqrt{n \cdot p \cdot q}\) ersetzen

\(n \cdot p - c \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot q} \leq X \leq n \cdot p + c \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot q}\)

3. Schritt: \(q\) durch \((1-p)\) ersetzen

\(n \cdot p - c \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \leq X \leq n \cdot p + c \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\)

4. Schritt: Durch \(n\) dividieren (teilen), da der Anteil der Stichprobe mit \(\dfrac{X}{n}\) beschrieben werden kann.

\(p - c \cdot \dfrac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{n} \leq \dfrac{X}{n} \leq p + c \cdot \dfrac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{n}\)

5. Schritt: \(\dfrac{X}{n}\) durch \(h\) ersetzen

\(p - c \cdot \dfrac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{n} \leq h \leq p + c \cdot \dfrac{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}{n}\)

6. Schritt: Im Zähler \(\sqrt{n}\) ausklammern

\(p - c \cdot \dfrac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{n} \leq h \leq p + c \cdot \dfrac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{n}\)

7. Schritt: Im Nenner \(n\) durch \(\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}\) ersetzen

\(p - c \cdot \dfrac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} \leq h \leq p + c \cdot \dfrac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}}\)

8. Schritt: \(\sqrt{n} \) kürzen

\(p - c \cdot \dfrac{\sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}} \leq h \leq p + c \cdot \dfrac{\sqrt{p \cdot (1-p)}}{\sqrt{n}}\)

9. Schritt: Termumformung (Wurzelgesetz anwenden)

\(p - c \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot (1-p)}{n}} \leq h \leq p + c \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot (1-p)}{n}}\)

10. Schritt: \(p \cdot (1-p)\) ausmultiplizieren

\(p - c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}} \leq h \leq p + c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}}\)

11. Schritt: Äquivalenzumformung \(-h\)

\(p - h - c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}} \leq p - h + c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}}\)

12. Schritt: Als ungleichung schreiben

\( |p-h| \leq  c \cdot \sqrt{\dfrac{p -p^2}{n}}\)