Title: Übungsaufgaben: Satz von Bayes
Course: Fachwissen Stochastik (BGT)__Version 0.001 > Section: Wahrscheinlichkeit

Übungsaufgaben: Satz von Bayes
Aufgabe

In einer Stadt gibt es im durchschnittlich 10 % Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein (Schwarzfahrer).

70 % der Schwarzfahrer haben keine Fahrkarte, die anderen 30 % nutzen eine nicht gültige Fahrkarte.

Von den Fahrgästen mit gültigem Fahrschein haben durchschnittlich 10 % ihre Fahrkarte vergessen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das ein kontrollierter Fahrgast, der keine Karte vorzeigen kann, ein Schwarzfahrer ist.

Lösung
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\(S\): Schwarzfahrer

\(\overline{S}\): Kein Schwarzfahrer

\(F\): Mit Fahrkarte

\(\overline{F}\): Ohne Fahrkarte

\(P(S)=\dfrac{1}{10}\)

\(P_S(F)=\dfrac{3}{10}\)

\(P_S(\overline{F})=\dfrac{7}{10}\)

\(P_\overline{S}(\overline{F})=\dfrac{1}{10}\)

Gesucht wird: \(P_\overline{F}(S)\)

\(P_\overline{F}(S)=\dfrac{P(S \cap \overline{F})}{P(\overline{F})}\)

\(P_\overline{F}(S)=\dfrac{P(S) \cdot P_S(\overline{F}) }{P(S) \cdot P_S(\overline{F}) + P(\overline{S}) \cdot P_\overline{S}(\overline{F})}\)

\(P(\overline{S})=1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10} \)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{ \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{7}{10} }{ \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{7}{10} + \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{1}{10} } \)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{ \dfrac{7}{100} }{ \dfrac{7}{100} + \dfrac{9}{100}}\)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{ \dfrac{7}{100} }{ \dfrac{16}{100}}\)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{7}{100} \cdot \dfrac{100}{16}\)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{700}{1600}\)

\( P_\overline{F}(S)=\dfrac{7}{16}\)

\( P_\overline{F}(S)= 0,4375 \)

\( P_\overline{F}(S)\approx 43,8\; \% \)

Aufgabe

Im Wetterbericht wird für den nächsten Tag durchschnittlich zu 60 % schönes Wetter vorausgesagt.

Zu 80 % trat die Voraussage "schönes Wetter" auch ein. Die Voraussage für "schlechtes Wetter" trat zu 90 % ein.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Voraussage zutrifft, dass der nächste Tag ein "schöner Tag" ist.

Lösung
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\(S\): Schöner Tag

\(\overline{S}\): Kein schöner Tag

\(V\): Voraussagt tritt ein

\(P(S)=\dfrac{6}{10}\)

\(P_S(V)=\dfrac{8}{10}\)

\(P_\overline{S}(V)=\dfrac{9}{10}\)

Gesucht wird: \(P_V(S)\)

\(P_V(S)=\dfrac{P(S \cap V)}{P(V)}\)

\(P_V(S)=\dfrac{P(S) \cdot P_S(V) }{P(S) \cdot P_S(V) + P(\overline{S}) \cdot P_\overline{S}(V)}\)

\(P(\overline{S})=1 - \dfrac{6}{10} = \dfrac{4}{10} \)

\( P_V(S)=\dfrac{ \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{8}{10} }{ \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{8}{10} + \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{9}{10} } \)

\( P_V(S)=\dfrac{ \dfrac{48}{100} }{ \dfrac{48}{100} + \dfrac{36}{100}}\)

\( P_V(S)=\dfrac{ \dfrac{48}{100} }{ \dfrac{84}{100}}\)

\( P_V(S)=\dfrac{48}{100} \cdot \dfrac{100}{84}\)

\( P_V(S)=\dfrac{4800}{8400}\)

\( P_V(S)=\dfrac{48}{84}\)

\( P_V(S)\approx 0,5714\)

\( P_V(S)\approx 57\; \% \)