Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Plattenrest optimal verwerten 1" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Aufstellen der Geradengleichung g

durch \(A(40|50)\) und \(B(120|20)\)
mit der Steigung \(m=\dfrac{20-50}{120-40}=-0,375\)
und \(b=f(x)-m\cdot x=50-(-0,375)\cdot 40=65\)

\(f(x)=-0,375\cdot x+65\)

Rechteckfläche = Breite \(\cdot\) Höhe

\(A=b\cdot h=x\cdot f(x)=x\cdot (-0,375\cdot x+65)\) mit  \(40 \leq x \leq 120\)

Flächenfunktion \(A\)
\(A(x)=-0,375\cdot x^2+65\cdot x\) mit \(40 \leq x \leq 120\)     Allgemeinform einer quadratischen Funktion

Lösungsmöglichkeiten:

\(A(x)=x\cdot (-0,375\cdot x+65)\) mit \(40 \leq x \leq 120\)       Nullstellen durch Ausklammern von \(x\) und dem Anwenden des Satzes vom Nullprodukt

\(A(x)=-0,375\cdot (x - 86,667)^2 + 2816,667\) mit \(40 \leq x \leq 120\)      Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Nullstellen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

\(A(x)=0\)
Linearfaktor 1:  \(x=0\)
Linearfaktor 2:  \(-0,375\cdot x+65=0\)  →  \(x=\dfrac{-65}{-0,375}=173,33\)

Die Funktion Flächenfunktion \(A\) mit \(A(x)=x\cdot (-0,375\cdot x+65)\), bzw. \(A(x)=-0,375\cdot x^2+65\cdot x\)
hat den größten Wert mittig zwischen den Nullstellen, also bei \(x=0,5\cdot 173,33=86,67\)

größte Fläche bei \(A(86,67)=2816,67\;\textrm{cm}^2\)

Scheitelpunkt

Aus der Darstellung der Funktionsgleichung in Scheitelpunktform lassen sich die Länge des Rechtecks sowie seine Fläche direkt ablesen.