Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Sonnenliege konstruieren" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Zeichnung der Sonnenliege

Bestimmung der Funktionsgleichungen der Parabeln \(p_l\) und \(p_r\)

Linke Parabel mit Nullstellen bei \(x_{01}=0\) und \(x_{02}=100\)
\(p_l(x)=a\cdot x\cdot (x-100)\)
mit \(A(50|40)\)
\(40=a\cdot 50\cdot (50-100) \)
\(a=\dfrac{40}{-2500}=-0,016\)
\(p_l(x)=-0,016\cdot x\cdot (x-100)=-0,016x^2+1,6x\)

Rechte Parabel mit Scheitel \(B(150|50)\)
\(p_r(x)=a\cdot (x-150)^2+50\)
mit \(D(100|0)\)
\(0=a\cdot (100-150)^2+50\)
\(a=\dfrac{-50}{2500}=-0,02\)
\(p_r(x)=-0,02\cdot (x-150)^2+50=-0,02x^2+6x-400\)

Bestimmung der Schnittpunkte \(S1 ... S4\)

Gleichsetzen
\(p_l(x)=30\)
\(-0,016x^2+1,6x=30\)
\(-0,016x^2+1,6x-30=0\)
\(x^2-100x+1875=0\)
\(x_{1/2}=50\pm\sqrt{2500-1875}\)
\(x_{1/2}=50\pm 25\)
\(x_1=25\;;\;\;x_2=75\)

\(S1(25|30)\;;\;\;S2(75|30)\)

\(p_r(x)=30\)
\(-0,02x^2+6x-400=30\)
\(-0,02x^2+6x-430=30\)
\(x^2-300x+21500=0\)
\(x_{3/4}=150\pm\sqrt{22500-21500}\)
\(x_{3/4}=150\pm\sqrt{1000}\)
\(x_{3/4}=150\pm 31,623\)
\(x_3=119,377\;;\;\;x_4=181,623\)

\(S3(119,377|30)\;;\;\;S4(181,623|30)\)

Bestimmung der Funktionsgleichung der Lehne \(\ell\)

\(\ell(x)=m\cdot x+b\)
mit \(G(130|30)\)
\(b=y-m\cdot x\)
\(b=30-130\cdot m\)
\(\ell(x)=m\cdot x+30-130\cdot m\)
\(m=tan(\alpha)\)
\(\ell(x)=tan(\alpha)\cdot x+30-130\cdot tan(\alpha)\)
\(\alpha=15°\quad\rightarrow\quad \ell(x)=0,268\cdot x-4,833\)
\(\alpha=30°\quad\rightarrow\quad \ell(x)=0,577\cdot x-45,056\)
\(\alpha=45°\quad\rightarrow\quad \ell(x)=x-100\)
\(\alpha=60°\quad\rightarrow\quad \ell(x)= 1,732\cdot x-195,167\)

Bestimmung der Schnittpunkte der Lehne \(\ell\) mit \(p_r\)

Schnittbedingung:
\(\ell(x)=p_r(x)\)
\(0,288\cdot x-4,833=-0,02x^2+6x-400\quad\rightarrow\quad S5(171,175|41,033)\)
\(0,577\cdot x-45,056=-0,02x^2+6x-400\quad\rightarrow\quad S6(160,686|47,716)\)
\(x-100=-0,02x^2+6x-400\quad\rightarrow\quad S7(150|50)\)
\( 1,732\cdot x-195,167=-0,02x^2+6x-400\quad\rightarrow\quad S8(140,506|48,197)\)