Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Lüftermotor auswählen" > Section: Lösungen/Handlungsprodukte

Modellierung des "rechten" Kennlinienteils mithilfe einer quadratischen Funktion

Festlegung: \( S(2550|25)\), \(P(3000|0) \)

Einsetzen von \(S\) in die Scheitelpunktform ergibt:

\(M_M(n) = a\cdot(n-2550)^2+25 \)

Durch Einsetzen von \(P\) und Umstellen nach \(a\) ergibt sich:

\(0 = a\cdot(3000-2550)^2+25 \)

\(a = -\dfrac{25}{(3000-2550)^2} = -\dfrac{1}{8100} \)

Damit ergibt sich die folgende Funktionsgleichung:

\( M_M(n) =-\dfrac{12}{8100} \cdot(n-2550)^2+25 \)

Durch Ausmultiplizieren der Klammer ergibt sich:

\( M_M(n) =-\dfrac{1}{8100}\cdot n^2 + \dfrac{51}{81}\cdot n - 777,78 \)

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte:

\( M_M(n) = M_L(n) \)

\( -\dfrac{1}{8100} \cdot n² + \dfrac{51}{81} \cdot n - 777,78 = 1 \cdot 10^{-6} \cdot n² \)

\( -1,245 \cdot 10^{-4} \cdot n² + \dfrac{51}{81} \cdot n - 777,78 = 0 \)

\( n² - 5057,27 \cdot n + 6247228,92 = 0 \)

Durch Nutzung der pq-Fomel erhält man:

\( n_{1,2} = \dfrac{5057,27}{2} \pm \sqrt{\dfrac{5027,27²}{4}-6247228,92} \)

\( n_{1,2} = 2528,64 \pm \sqrt{146766,04} \)

\( n_{1,2} = 2528,64 \pm 383,1 \)

\( n_1 = 2145,54 \notin D \)

\( n_2 = 2911,74 \in D \)

\( M_L (2911,74) = 1 \cdot 10^{-6} \cdot 2911,74² = 8,48 \)

\( S(2911,74|8,48) \)