Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Wirkungsgrad einer Windenergieanlage berechnen" > Section: Lösungen/Handlungsprodukte

Betz-Gesetz: | Leistung des Windes:
 | \(p_{Wind}(v_1)=\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot A\cdot v_1^3\)

L: Leistung P
F: von der WEA überstrichenene Fläche A
\(\rho\): Luftdichte
\(v_1\): Windgeschwindigkeit vor der WEA (anströmende Luft)
\(v_2\): Windgeschwindigkeit nach der WEA (abströmende Luft)

Damit lässt sich die Gleichung in folgender Form schreiben:

\(P=\dfrac{1}{4}\cdot \rho\cdot A\cdot (v_1^2-v_2^2)\cdot (v_1+v_2)\), bzw.:

\(p_{WEA}(v_2)=\dfrac{1}{4}\cdot \rho\cdot A\cdot (v_1^2-v_2^2)\cdot (v_1+v_2)\)

Berechnen bzw. Festlegen der Werte für die Konstanten:

\(A= (0,5~m)^2 \cdot \pi + 1,0~m \cdot 0,215~m = 1~ m^2\)
\(\rho=1 \dfrac{kg}{m^3}\)
\(v_1= 10 \dfrac{m}{s}\) (aus der Leistungsangabe)

Damit wird \(p_{WEA}(v_2)=\dfrac{1}{4}\cdot \rho\cdot A\cdot (v_1^2-v_2^2)\cdot (v_1+v_2)\) zu:

\(p_{WEA}(v_2)=\dfrac{1}{4}\cdot (10^2-v_2^2)\cdot (10+v_2)\), bzw. unter Verwendung des 3. Binoms:

\(p_{WEA}(v_2)=\dfrac{1}{4}\cdot (10+v_2)\cdot (10-v_2)\cdot (10+v_2)\), bzw:

\(p_{WEA}(v_2)=\dfrac{1}{4}\cdot (10+v_2)^2\cdot (10-v_2)\).

Man erkennt spätestens hier die Linearfaktorendarstellung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit einer einfachen und einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt, Extrema)

Graph der Funktion \(p_{WEA}\):

Ermittlung der maximalen Leistung:

Eine WEA kann einer strömenden Luftmasse nur dann Energie entziehen, wenn die Strömungsgeschwindigkeit verlangsamt wird. Also muss sich \(v_2\) veringern.

Durch Nutzung der digitalen Mathematikwerkzeuge (GeoGebra, TR, ...) erhält man für \(v_2=3,333\) und damit das Verhältnis \(\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{10}{3,333}= 3\), die Strömungsgeschwindigkeit der Luftmasse muss also auf \(\dfrac{1}{3}\) abgebremst werden.

Die maximale Leistung beträgt in diesem Fall für die betrachtete WEA \(p_{WEA}(3,33) = 296,3 W\). Das liegt unter der Leistungsangabe des Herstellers.