Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Entwicklung einer Berganfahrhilfe" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Teststrecke 1 ist eine lineare Funktion mit \(f_1(s)=s\).

Teststrecke 2 ist eine quadratische Funktion mit \(f_2(s)=\frac{1}{2}s^2\).

Steigung der linearen Funktion

Berechnung zweier beliebiger Stellen der Funktion \(f_1\) mit dem Differenzenquotienten(Steigungsdreieck) führt zu den immer gleichen Ergebnissen.

\(m_t=\frac{f_1(s_2)-f_1(s_1)}{s_2-s_1}=\frac{f_1(0,8)-f_1(0,4)}{0,8-0,4}=1=\frac{f_1(0,7)-f_1(0,6)}{0,7-0,6}=1\)

Erkenntnis: Steigung bleibt konstant.

Steigung der quadratischen Funktion

Von der Sekante zur Tangente

Stelle \(s_1=0,25\) hat die größten Abweichungen.

Berechnung der Steigung mit Hilfe des Differenzenquotienten mit Hilfe beliebigen \(s_2\).

Beispiele:

\(m_s=\frac{f_2(s_2)-f_2(s_1)}{s_2-s_1}=\frac{f_2(0,6)-f_2(0,25)}{0,6-0,25}=0,425\)

\(m_s=\frac{f_2(0,4)-f_2(0,25)}{0,4-0,25}=0,325\)

\(m_s=\frac{f_2(0,3)-f_2(0,25)}{0,3-0,25}=0,275\)

\(m_s=\frac{f_2(0,26)-f_2(0,25)}{0,26-0,25}=0,255\)

Erkenntnis: Je kleiner der Abstand zwischen \(s_1=0,25\) und \(s_2\) desto genauer das Ergebnis.

Einführung des Limes und des Differenzialquotienten.

Berechnung des Differenzialquotienten mit binomischen Formeln(Siehe Unterlagen FGTD19)

\(m_t=\lim\limits_{s \rightarrow s_1}\frac{f_2(s)-f_2(s_1)}{s-s_1}\)

\(m_{t} =\lim\limits _{s\rightarrow s_{1}}\frac{\frac{1}{2} \cdot s^{2} -\frac{1}{2} \cdot s^{2}_{1}}{s-s_{1}}\)

\(m_{t} =\lim\limits _{s\rightarrow s_{1}}\frac{\frac{1}{2} \cdot \left( s^{2} -s^{2}_{1}\right)}{s-s_{1}}\)

\(m_{t} =\lim\limits _{s\rightarrow s_{1}}\frac{\frac{1}{2} \cdot ( s -s_{1}) \cdot ( s+s_{1})}{s-s_{1}} \ \ \ 3.binomische\ Formel\)

\(m_{t} =\lim\limits _{s\rightarrow s_{1}}\frac{1}{2} \cdot ( s+s_{1}) \ \ durch\ Kürzen\ von\ ( s-s_{1})\)

\(m_{t} =\lim\limits _{s\rightarrow s_{1}}\frac{1}{2} \cdot s+\frac{1}{2} s_{1} \ \)

\(m_{t} =\frac{1}{2} \cdot s_{1} +\frac{1}{2} s_{1} \ \ \ \ "s_{1} \ einsetzen"\)

\(m_t=1\cdot s_1\)

Aus Einsetzen folgt dann:

\(m_t=s_1=0,25\)

Die Steigung der Funktion \(f_2\) an der Stelle \(s_1=0,25\) beträgt \(m=0,25\).

Steigungsberechnung an anderen Stellen.

Zusammenhang zwischen \(f_1\) und \(f_2\).

 \(f_1\)  ist die Ableitungsfunktion von \(f_2\).

\(f_1(s)=f'_2(s)\)