Title: Erwartungshorizont
Course: Lernsituation "Verpackungen optimieren" > Section: Lösungen/Handlungsergebnisse

Volumenfunktion

\(V(l,b,h)=l \cdot b \cdot h\)

Nebenbedingungen

\(l=L-2\cdot h\)
\(b=B-2\cdot h\)

Zielfunktion

\(V(h)=(L-2\cdot h)\cdot (B-2\cdot h)\cdot h\)
\(V(h)=(6-2\cdot h)\cdot (4-2\cdot h)\cdot h\)
\(V(h)=(24-20\cdot h+4\cdot h^2)\cdot h\)
\(V(h)=24\cdot h-20\cdot h^2+4\cdot h^3\)

mit \( 0 \leq h \leq 2\)

Bestimmung des Maximums und der Abmessungen

\(V^/(h)=0\)
\(12\cdot h^2-40\cdot h+24=0\)

\(h^2-\dfrac{10}{3}h+2=0\)

\(h_{1/2}=\dfrac{5}{3}\pm\sqrt{\dfrac{25}{9}-\dfrac{18}{9}}=\dfrac{5}{3}\pm\sqrt{\dfrac{7}{9}} \)

\(x_1=2,549\)  und  \(x_2=0,785\), nur \(x_2\) liegt im Definitionsbereich.

\(V(0,785)=24\cdot 0,785-20\cdot 0,785^2+4\cdot 0,785^3=8,45\)

Die Kiste hat ein maximales Volumen von \(8,45\; \textrm{dm}^3\),

ein Länge von \(l=6-2\cdot 0,785=4,43\;\textrm{dm}\) und ein Breite von \(b=4-2\cdot 0,785=2,43\; \textrm{dm}\).