Title: Info: Quadratische Ergänzung
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Einführung Funktionen

Quadratische Ergänzung durchführen

Erklärung

Die quadratische Ergänzung kann genutzt werden um eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form mit \(f(x)= a\cdot x^2 +b \cdot x + c \) in die Scheitelpunktform mit \(f(x)= a\cdot (x-d)^2 +e\) umzuformen.

Ausgangspunkt ist somit die allgemeinen Form mit \(f(x)= a\cdot x^2 +b \cdot x + c \).

Schritt 1

Koeffizient \(a\) ausklammern

\(f(x)= a\cdot \biggl( x^2 +\dfrac{b}{a} \cdot x\biggr) + c \)

Schritt 2

\(\dfrac{b}{a}\) durch \(p\) ersetzen. Dieser Schritt muss nicht durchgeführt werden, es wird aber übersichtlicher.

\(f(x)= a\cdot \biggl( x^2 +p \cdot x\biggr) + c \)

Schritt 3

Term mit \(+\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2\) quadratisch ergänzen. Da der Term jetzt verändert ist, wird die Ergänzung mit \(-\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2\) aufgehoben.

\(f(x)= a\cdot \Biggl( x^2 +p \cdot x+\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2-\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2\Biggr) + c \)

Schritt 4

Durch diese Termumformung kann \(x^2 +p \cdot x+\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2\) als eine binomische Formel mit \(\Biggl(x +\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)\Biggr)^2\) zusammengefasst werden.

\(f(x)= a\cdot \Biggl( \Biggl(x +\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)\Biggr)^2-\biggl(\dfrac{p}{2}\biggr)^2 \Biggr)+c \)

Beispiel

Die quadratische Funktion von der allgemeinen Form mit \(f(x)= 2\cdot x^2 +4 \cdot x + 3 \) in die Scheitelpunktform mit \(f(x)= a\cdot (x-d)^2 +e\) umzuformen.

Ausgangspunkt ist somit die allgemeinen Form mit \(f(x)= 2\cdot x^2 +4 \cdot x + 3 \).

Schritt 1

Koeffizient \(2\) ausklammern

\(f(x)= 2\cdot \biggl( x^2 +\dfrac{4}{2} \cdot x \biggr)+3 \)

\(f(x)= 2\cdot \biggl( x^2 +2 \cdot x \biggr) +3 \)

Schritt 2

Somit ist \(p=2\)

Schritt 3

Term mit \(+\biggl(\dfrac{2}{2}\biggr)^2\) quadratisch ergänzen. Da der Term jetzt verändert ist, wird die Ergänzung mit \(-\biggl(\dfrac{2}{2}\biggr)^2\) aufgehoben.

\(f(x)= 2\cdot \Biggl( x^2 +2 \cdot x+\biggl(\dfrac{2}{2}\biggr)^2-\biggl(\dfrac{2}{2}\biggr)^2 \Biggr) +3\)

\(f(x)= 2\cdot (x^2 +2 \cdot x +1 -1 )+3 \)

Schritt 4

Durch diese Termumformung kann \(x^2 +2 \cdot x +1\) als eine binomische Formel mit \((x+1)^2\) zusammengefasst werden.

\(f(x)= 2\cdot \bigl((x+1)^2-1 \bigr) +3\)

Schritt 5

Koeffizient \(2\) ausmultiplizieren

\(f(x)= 2\cdot (x+1)^2+2\cdot(-1)+3 \)

\(f(x)= 2\cdot (x+1)^2+1 \)