Title: Lösung: Gauß-Algorithmus (Stufenform oder Dreiecksform)
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Ganzrationale Funktionen

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem.

\( \begin{matrix} I\\ II\\ III  \end{matrix} \begin{vmatrix} 1\cdot a &+1\cdot b &+1\cdot c &=& 1  \\ 1\cdot a &-1\cdot b &+ 1 \cdot c &=& -1  \\ 4\cdot a &-2 \cdot b &+1\cdot c &=& 4\end{vmatrix} \)

Mit dem Gauß-Algorithmus in die Stufenform oder Dreickecksform umformen

\( III'=4 \cdot II-III \)

\(\begin{matrix}4\cdot(1\cdot a)&-&(4\cdot a)&=& 0\cdot a  \\ 4\cdot(-1\cdot b)&-&(-2 \cdot b) &=& -2\cdot b  \\ 4\cdot(1\cdot c)&-&(1 \cdot c)&=& 3\cdot c \\ 4\cdot(-1)&-&(4)&=& -8\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II\\ III'  \end{matrix} \begin{vmatrix} 1\cdot a &+1\cdot b &+1\cdot c &=& 1  \\ 1\cdot a &-1\cdot b &+ 1 \cdot c &=& -1  \\ 0\cdot a &-2 \cdot b &+3\cdot c &=& -8\end{vmatrix} \)

\( II'= I-II \)

\(\begin{matrix}1\cdot a&-&1\cdot a&=& 0\cdot a  \\ 1\cdot b&-&(-1 \cdot b) &=& 2\cdot b  \\ 1\cdot c&-&1 \cdot c&=& 0\cdot c \\ 1\cdot(8)&-&(-1)&=& 2\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II'\\ III'  \end{matrix} \begin{vmatrix} 1\cdot a &+1\cdot b &+1\cdot c &=& 1  \\ 0\cdot a &+2\cdot b &+ 0 \cdot c &=& 2  \\ 0\cdot a &-2 \cdot b &+3\cdot c &=& -8\end{vmatrix} \)

\( III''= II'+  III' \)

\(\begin{matrix}0\cdot a&+&0\cdot a&=& 0\cdot a  \\ 2\cdot b&+&(-2 \cdot b) &=& 0\cdot b  \\ 3\cdot c&+&0 \cdot c&=& 3\cdot c \\ (2)&+&(-8)&=& -6\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II'\\ III'  \end{matrix} \begin{vmatrix} 1\cdot a &+1\cdot b &+1\cdot c &=& 1  \\ 0\cdot a &+2\cdot b &+ 0 \cdot c &=& 2  \\ 0\cdot a &0 \cdot b &+3\cdot c &=& -6\end{vmatrix} \)

\(c\) bestimmen

\(  \begin{align} III'': 3\cdot c &= -6 \quad |:3 \\  c &= -2  \end{align}\)

\(b\) bestimmen

\(  \begin{align} II': 2\cdot b + 0\cdot (-2) &= 2 \\ 2\cdot b &= 2 \quad |:2  \\  b &= 1  \end{align}\)

\(a\) bestimmen

\(  \begin{align} I: 1\cdot a +1\cdot 1 -2 &= 1 \\ 1\cdot a -1  &= 1 \quad |+1 \\ 1\cdot a  &= 2 \\ a &= 2  \end{align}\)

Hilfen zur Aufgabe:

Info: Lineares Gleichungssystem

Info: Gauß-Algorithmus (Stufenform oder Dreiecksform)

Beispiel: Gauß-Algorithmus (Stufenform oder Dreiecksform)