Title: Info: Bedingungen für Wendestellen
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte

Notwendige Bedingung für Wendestellen

Erklärung

Wenn die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) einen Wendepunkt besitzt, dann hat die 2. Ableitung \(f''(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle.

Mathematische Schreibweise

\(f''(x_w)=0\)

Achtung! Es heißt umgekehrt nicht, dass jede Nullstelle der 2. Ableitung \(f''(x)\) eine Wendestelle der Funktion \(f(x)\) ist. Diese Eigenschaft besitzt auch ein Sattelpunkt.

In der Mathematik nennt man die Bedingung \(f''(x_w)=0\) auch notwendig für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), aber nicht hinreichend.

Hinreichende Bedingung für Wendestellen mithilfe des Vorzeichenwechsels

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle hat
2. und es an der Stelle \(x_w\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes \(f''(x_w) \) gibt.

Mathematische Schreibweise

\(f''(x_w)=0\)  und \(f''(x_w) \) hat an der Stelle \(x_w\) einen Vorzeichenwechsel des Funktionswertes

Hinreichende Bedingung für Extremstellen mithilfe der 3. Ableitung

Erklärung

In der Mathematik nennt man die Bedingung hinreichend für das Vorliegen eines Wendepunktes an der Stellen \(x_w\), wenn 2 Bedingungen erfüllt sind.

1. Wenn die 2. Ableitung \(f''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) eine Nullstelle hat
2. und wenn die 3. Ableitung \(f'''(x)\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_w\) keine Nullstelle hat.

Mathematische Schreibweise

\(f''(x_w)=0\) und \(f'''(x_w)\neq0\)