Title: Beispiel: Gauß-Algorithmus (Stufenform oder Dreiecksform)
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Ganzrationale Funktionen

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem.

\( \begin{matrix} I\\ II\\ III  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2\cdot a &-3\cdot b &- 4\cdot c &=& 8  \\ 3\cdot a &+5\cdot b &+ 1 \cdot c &=& 10  \\ -4\cdot a &+ 1 \cdot b &- 3\cdot c &=& 7\end{vmatrix} \)

Mit dem Gauß-Algorithmus in die Stufenform oder Dreickecksform umformen

\( III'=2 \cdot I+III \)

\(\begin{matrix}2\cdot(2\cdot a)&+&(-4\cdot a)&=& 0\cdot a  \\ 2\cdot(-3\cdot b)&+&(1 \cdot b) &=& -5\cdot b  \\ 2\cdot(-4\cdot c)&+&(-3 \cdot c)&=& -11\cdot c \\ 2\cdot(8)&+&(7)&=& 23\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II\\ III'  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2\cdot a &-3\cdot b &- 4\cdot c &=& 8  \\ 3\cdot a &+5\cdot b &+ 1 \cdot c &=& 10  \\ 0\cdot a &-5 \cdot b &-11\cdot c& =& 23\end{vmatrix} \)

\( II'=3 \cdot I- 2\cdot II \)

\(\begin{matrix}3\cdot(2\cdot a)&-&2\cdot(3\cdot a)&=& 0\cdot a  \\ 3\cdot(-3\cdot b)&-&2\cdot(5 \cdot b) &=& -19\cdot b  \\ 3\cdot(-4\cdot c)&-&2\cdot(1 \cdot c)&=& -14\cdot c \\ 3\cdot(8)&-&2\cdot(10)&=& 4\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II'\\ III'  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2\cdot a &-3\cdot b & - 4\cdot c &=& 8  \\ 0\cdot a &-19\cdot b &-14 \cdot c &=& 4  \\ 0\cdot a& -5 \cdot b &-11\cdot c &=& 23\end{vmatrix} \)

\( III''=5 \cdot II'- 19\cdot III' \)

\(\begin{matrix}5\cdot(0\cdot a)&-&19\cdot(0\cdot a)&=& 0\cdot a  \\ 5\cdot(-19\cdot b)&-&19\cdot(-5 \cdot b) &=& 0\cdot b  \\ 5\cdot(-14\cdot c)&-&19\cdot(-11 \cdot c)&=& 139\cdot c \\ 5\cdot(4)&-&19\cdot(23)&=& -412\end{matrix} \)

\( \begin{matrix} I\\ II'\\ III''  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2\cdot a& -3\cdot b&  - 4\cdot c& =& 8  \\ 0\cdot a& -19\cdot b& -14 \cdot c&=& 4  \\ 0\cdot a& -0 \cdot b& +139\cdot c &=& -412\end{vmatrix} \)

\(c\) bestimmen

\(  \begin{align} III'': 139\cdot c &= -412 \quad |:139 \\  c &= -3  \end{align}\)

\(b\) bestimmen

\(  \begin{align} II': -19\cdot b - 14\cdot (-3) &= 4 \\ -19\cdot b + 42 &= 4 \quad |-42  \\ -19\cdot b  &= -38\quad |:(-19)\\  b &= 2  \end{align}\)

\(a\) bestimmen

\(  \begin{align} I: 2\cdot a -3\cdot 2 - 4\cdot (-3) &= 8 \\ 2\cdot a -6 + 12 &= 8 \\ 2\cdot a +6 &= 8 \quad |-6  \\ 2\cdot a  &= 2\quad |:2\\  a &= 1  \end{align}\)