Title: Lösungen: Flächeninhalt mit der Stammfunktion berechnen
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Integral und Fläche

Berechnen Sie den grün eingefärbten Flächeinhalt \(A\) der Funktion \(f(x)\).

\(f(x)=-x^3+2\cdot x^2+2\cdot x+3\)

Mathematischer Ansatz

\(A=\int \limits_{1}^{3} f(x)\,dx\)

Stammfunktion bilden

\(F(x)=-\frac{1}{4}\cdot x^4+\frac{2}{3}\cdot x^3+ x^2+3\cdot x+C\)

Flächeninhalt berechnen

\(A=\int \limits_{1}^{3} (-x^3+2\cdot x^2+2\cdot x+3)\,dx=\Bigl[ -\frac{1}{4}\cdot x^4+\frac{2}{3}\cdot x^3+ x^2+3\cdot x+C \Bigr]_1^3\)

\(=-\frac{1}{4}\cdot 3^4+\frac{2}{3}\cdot 3^3+ 3^2+3\cdot 3+C - \left(-\frac{1}{4}\cdot 1^4+\frac{2}{3}\cdot 1^3+ 1^2+3\cdot 1+C\right)\)

Ab hier fällt die Konstante \(C\) weg, da \(C-C=0\)

\(=-\frac{81}{4}+\frac{54}{3} +9+9 - \left(-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+1+3\right)\)

\(=-\frac{243}{12}+\frac{216}{12} +18 - \left(-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}+4\right)\)

\(=-\frac{243}{12}+\frac{216}{12} +\frac{216}{12} - \left(-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}+\frac{48}{12}\right)\)

\(=\frac{189}{12} - \frac{53}{12}\)

\(=\frac{136}{12}\)

\(\approx11,33\)

Der gesuchte Flächeninhalt von \(A\) ist \(11,33\) FE (Flächeneinheiten)

Hilfen zur Aufgabe:

Info: Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

Info: Stammfunktion bestimmen (integrieren/aufleiten)