Title: Lösungen: Extrempunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte

Gegeben ist die folgende Funktion.

\(f(x)=-x^3+3x^2+9x-8\)

a) Bestimmen Sie die Stellen \(x_e\) der Funktion \(f(x)\) an den sich "möglicherweise" Extrempunkte befinden. (Notwendige Bedingung für Extremstellen)

\(f'(x_e)=0\)

\(f'(x)=-3x^2+6x+9\)

\(0=-3x^2+6x+9\)

Mit Taschenrechner lösen:

\(x_{e1}=-1\), \(x_{e2}=3\)

b) Weisen Sie mithilfe der 2. Ableitung nach, dass es sich tatsächlich im Extrempunkte handelt. (Hinreichende Bedingung für Extremstellen)

\(f''(x_e)\neq0\)

\(f''(x)=-6x+6\)

\(f''(-1)=12 \Rightarrow\) Extremstelle

\(f''(3)=-12 \Rightarrow\) Extremstelle

c) Untersuchen Sie, ob es sich bei den Extremstellen um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.

Hochpunkt

\(f''(x_e)<0\)

\(f''(x)=-6x+6\)

\(f''(3)=-12 \Rightarrow\) Hochpunkt

Tiefpunkt

\(f''(x_e)>0\)

\(f''(x)=-6x+6\)

\(f''(-1)=12 \Rightarrow\) Tiefpunkt

d) Bestimmen Sie die Hochpunkte und Tiefpunkte

\(f(-1)=-13\)

\(T(-1|-13)\)

\(f(3)=19\)

\(H(3|19)\)

Hilfen zur Aufgabe:

Info: Bedingungen für Extremstellen

Info: Bedingungen für Hochpunkte und Tiefpunkte

Übersicht: Extrempunkte, Tiefpunkte und Hochpunkte