Title: Beispiel: Flächeninhalt mit der Stammfunktion berechnen
Course: Fachwissen Analysis_Version 0.003 > Section: Integral und Fläche

Berechnen Sie den grün eingefärbten Flächeinhalt \(A\) der Funktion \(f(x)\).

\(f(x)=2\cdot x^3-3\cdot x^2-x+3\)

Mathematischer Ansatz

\(A=\int \limits_{1}^{2} f(x)\,dx\)

Stammfunktion bilden

\(F(x)=\frac{1}{2}\cdot x^4-x^3-\frac{1}{2} \cdot x^2+3\cdot x+C\)

Flächeninhalt berechnen

\(A=\int \limits_{1}^{2} (2\cdot x^3-3\cdot x^2-x+3)\,dx=\Bigl[ \frac{1}{2}\cdot x^4-x^3-\frac{1}{2} \cdot x^2+3\cdot x+C \Bigr]_1^2\)

\(=\frac{1}{2}\cdot 2^4-2^3-\frac{1}{2} \cdot 2^2+3\cdot 2+C - \left(\frac{1}{2}\cdot 1^4-1^3-\frac{1}{2} \cdot 1^2+3\cdot 1+C\right)\)

Ab hier fällt die Konstante \(C\) weg, da \(C-C=0\)

\(=\frac{16}{2}-8-\frac{4}{2} +6 - \left(\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+3\right)\)

\(=8-8-2 +6 - \left(\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+3\right)\)

\(=4 - 2\)

\(=2\)

Der gesuchte Flächeninhalt von \(A\) ist \(2\) FE (Flächeneinheiten)

Hilfen zur Aufgabe:

Info: Unbestimmtes Integral und Stammfunktion

Info: Stammfunktion bestimmen (integrieren/aufleiten)