Lösung: Spurpunkt berechnen
Hausaufgabe
Berechnen Sie den Spurpunkt \(S_y\) der Geraden \(g\) mit der \(x\)-\(z\)-Koordinatenebene.
\( g: \overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)
Alle Punkte auf der \(x\)-\(z\)-Koordinatenebene haben die Eigenschaft \( y=0 \).
Der gesuchte Punkt: \(S_y(x|0|z)\)
Ortsvektor \(\overrightarrow{OS_y}\) für \(\overrightarrow{x}\) in die Geradengleichung einsetzen.
\( \left(\begin{array}{c} x \\ 0 \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)
Mit der 2. Zeile \(r\) bestimmen.
\( 0=2-1\cdot r \quad |-2\)
\( -2=-1\cdot r \quad |:(-1)\)
\( r=2\)
\( r=2\) in Gleichung einsetzen.
\( \overrightarrow{OS_y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)
\( \overrightarrow{OS_y} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) \)
\( \overrightarrow{OS_y} = \left(\begin{array}{c} 1+(-4) \\ 2+(-2) \\ 1+2 \end{array}\right) \)
\( \overrightarrow{OS_y} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \)
\( S_y(-3|0|3) \)
Hilfen zur Aufgabe